描述
物理信息神经网络 (PINNs) 代表了一种解决监督学习问题的开创性方法，特别是那些受非线性偏微分方程 (PDEs) 控制的问题。该框架将物理定律直接整合到神经网络的训练过程中，从而实现数据驱动的解决方案和底层 PDE 的发现。
PINNs 的工作原理是通过深度神经网络来逼近 PDE 的解。其关键创新在于定义一个损失函数，该函数不仅包含网络预测与观测数据（如果可用）之间的差异，还包含一个惩罚违反 PDE 本身的项。这通过自动微分实现，其中网络输出相对于其输入（例如，时间和空间坐标）进行微分，以计算 PDE 的各项。通过最小化这个组合损失，网络被训练以同时满足数据和物理约束。
该框架支持两大类问题：数据驱动的 PDE 解和数据驱动的 PDE 发现。对于求解 PDE，PINNs 即使在数据稀疏的情况下，也能利用 PDE 的结构来推断解。对于发现，它们可以从观测数据中识别未知 PDE 的参数。提出了两种不同的算法方法：连续时间模型，它使用整个时空域内的配置点来强制执行 PDE 约束；以及离散时间模型，它利用经典的步进方案（如龙格-库塔方法）来构建更具结构性的神经网络表示，可能减少在高维情况下对大量配置点的需求。
提供的示例包括求解和发现 Burgers 方程、薛定谔方程、Navier-Stokes 方程、Allen-Cahn 方程和 Korteweg-de Vries (KdV) 方程的参数。这些示例展示了 PINNs 在处理各种非线性、边界条件（包括周期性和复值解）以及高阶导数方面的通用性。从有限数据中恢复 PDE 未知参数的能力是科学发现和工程应用的一项重大进步。
PINNs 的目标受众包括研究人员、工程师和数据科学家，他们从事物理系统、流体动力学、材料科学以及任何微分方程起关键作用的领域的工作。其价值主张在于能够以更少的数据提供准确的解决方案、发现控制方程以及创建可进一步分析和优化的可微分代理模型。
物理信息深度学习亮点
用于 PDE 解的物理信息神经网络
偏微分方程的数据驱动发现
用于 PDE 强制执行的连续时间模型
利用龙格-库塔方案的离散时间模型
用于 PDE 约束满足的自动微分
处理非线性偏微分方程
支持各种边界条件（狄利克雷、周期性）
可推断 PDE 的未知参数
可微分代理模型
适用于流体动力学、波现象和反应扩散系统
代码和数据集公开可用
在 GPU 上训练以提高效率
物理信息深度学习入门
定义 PDE：制定控制系统的偏微分方程。
逼近解：使用深度神经网络表示未知解。
构建损失函数：将数据保真度损失与 PDE 残差损失相结合。
训练网络：使用优化算法（例如，反向传播）最小化损失函数。
验证结果：将网络预测与已知解或实验数据进行比较。
应用于发现：使用观测数据推断 PDE 的未知参数。
物理信息深度学习的使用案例
- 求解 PDE
- 发现 PDE
- 流体动力学建模
- 波传播分析
- 材料科学模拟
- 量子力学建模
- 可微分代理模型
- 反向问题
