Физически информированное глубокое обучение

PINNs работают путем аппроксимации решения ДУЧП с использованием глубокой нейронной сети. Ключевая инновация заключается в определении функции потерь, которая включает не только расхождение между предсказаниями сети и наблюдаемыми данными (если они доступны), но и член, который штрафует нарушение самого ДУЧП. Это достигается с помощью автоматического дифференцирования, где выход сети дифференцируется по отношению к ее входам (например, времени и пространственным координатам) для вычисления членов ДУЧП. Минимизируя эти комбинированные потери, сеть обучается удовлетворять как данным, так и физическим ограничениям.

Эта структура поддерживает два основных класса задач: решение ДУЧП на основе данных и открытие ДУЧП на основе данных. Для решения ДУЧП PINNs могут выводить решения даже при наличии разреженных данных, используя структуру ДУЧП. Для открытия они могут идентифицировать параметры неизвестных ДУЧП на основе наблюдаемых данных. Представлены два различных алгоритмических подхода: модели непрерывного времени, которые используют коллокационные точки во всей пространственно-временной области для обеспечения соблюдения ограничений ДУЧП, и модели дискретного времени, которые используют классические схемы шагов по времени, такие как методы Рунге-Кутты, для построения более структурированных представлений нейронных сетей, потенциально уменьшая потребность в обширных коллокационных точках в более высоких размерностях.

Приведенные примеры включают решение и определение параметров для уравнения Бюргерса, уравнения Шрёдингера, уравнений Навье-Стокса, уравнения Аллена-Канна и уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ). Эти примеры демонстрируют универсальность PINNs в обработке различных типов нелинейностей, граничных условий (включая периодические и комплекснозначные решения) и производных более высокого порядка. Способность восстанавливать неизвестные параметры ДУЧП из ограниченных данных является значительным достижением для научного открытия и инженерных приложений.

Целевая аудитория PINNs включает исследователей, инженеров и специалистов по данным, работающих с физическими системами, гидродинамикой, материаловедением и любыми областями, где дифференциальные уравнения играют решающую роль. Ценностное предложение заключается в его способности предоставлять точные решения с меньшим количеством данных, открывать управляющие уравнения и создавать дифференцируемые суррогатные модели, которые могут быть далее проанализированы и оптимизированы.