Deep Learning Informado por Física

As PINNs funcionam aproximando a solução de uma EDP usando uma rede neural profunda. A inovação chave reside na definição de uma função de perda que inclui não apenas a discrepância entre as previsões da rede e os dados observados (se disponíveis), mas também um termo que penaliza a violação da própria EDP. Isso é alcançado através de diferenciação automática, onde a saída da rede é diferenciada em relação às suas entradas (por exemplo, tempo e coordenadas espaciais) para calcular os termos da EDP. Ao minimizar essa perda combinada, a rede é treinada para satisfazer tanto os dados quanto as restrições físicas.

O framework suporta duas classes principais de problemas: solução orientada por dados e descoberta orientada por dados de EDPs. Para resolver EDPs, as PINNs podem inferir soluções mesmo com dados esparsos, aproveitando a estrutura da EDP. Para descoberta, elas podem identificar os parâmetros de EDPs desconhecidas a partir de dados observados. Duas abordagens algorítmicas distintas são apresentadas: modelos de tempo contínuo, que usam pontos de colocação em todo o domínio espaço-temporal para impor restrições de EDP, e modelos de tempo discreto, que utilizam esquemas clássicos de passo de tempo como métodos de Runge-Kutta para construir representações de rede neural mais estruturadas, potencialmente reduzindo a necessidade de pontos de colocação extensivos em dimensões mais altas.

Exemplos fornecidos incluem a resolução e descoberta de parâmetros para a equação de Burgers, equação de Schrödinger, equações de Navier-Stokes, equação de Allen-Cahn e equação de Korteweg-de Vries (KdV). Esses exemplos demonstram a versatilidade das PINNs no tratamento de vários tipos de não linearidades, condições de contorno (incluindo soluções periódicas e de valor complexo) e derivadas de ordem superior. A capacidade de recuperar parâmetros desconhecidos de EDPs a partir de dados limitados é um avanço significativo para a descoberta científica e aplicações de engenharia.

O público-alvo para PINNs inclui pesquisadores, engenheiros e cientistas de dados que trabalham com sistemas físicos, dinâmica de fluidos, ciência de materiais e qualquer domínio onde equações diferenciais desempenham um papel crucial. A proposta de valor reside em sua capacidade de fornecer soluções precisas com menos dados, descobrir equações governantes e criar modelos substitutos diferenciáveis que podem ser posteriormente analisados e otimizados.